El diccionario de la R.A.E contiene el significado exacto de la expresión que estas buscando: «A la chita callando»

Hacer una cosa a la chita callando significa hacerlo con mucho sigilo o con disimulo sin que nadie se de cuenta de lo en que estas haciendo El origen de la frase se atribuye al juego de las chitas.

Frases con la expresión «A la chita callando»

• A la chita callando me estas vacilando
• A la chita callando la Real Sociedad va primero en la liga